Московский Государственный Университет имени М.В.Ломоносова
Биологический факультет
Кафедра биофизики
119991, Москва, ГСП-2, Ленинские горы. Телефон (495) 939-1116, факс 939-1115.
!Это архивная версия сайта кафедры биофизики от 2020 года.
Актуальный сайт доступен по адресу https://www.biophys.msu.ru/.

Курс теории вероятностей и математической статистики
для студентов кафедры биофизики биофака МГУ (5 семестр)

д.ф.-м.н. Игорь Георгиевич Минкевич

Программа

  1. Введение в курс. Понятие случайности. Вероятность как количественная мера случайности. Случайные события, их классификация. 
  2. Множества событий. Алгебра событий. Элементарные и сложные события. Сложение и умножение вероятностей. Случайные величины. Кумулятивная функция распределения и плотность распределения вероятностей одной случайной величины. Общие свойства этих функций.
  3. Распределения одномерных дискретных случайных величин: биномиальное, распределение Пуассона.
    Лекции 1-2, Лекция 3
  4. Распределения одномерных непрерывных случайных величин: равномерное, нормальное (стандартное и общего вида). 
  5. Дискретизация непрерывных распределений. Квантили. Модальность плотности распределения.
    Лекция 4
  6. Моменты (начальные и центральные) одномерных случайных величин. Математическое ожидание, дисперсия, асимметрия, коэффициент эксцесса. Производящая функция начальных и центральных моментов. Примеры для разных видов распределения.
    Лекция 5
  7. Плотность и функция распределения нескольких случайных величин. Условная вероятность. Статистическая независимость. Функция распределения в случае независимости случайных аргументов.
    Лекция 6
  8. Моменты (начальные и центральные) многомерных случайных величин. Математическое ожидание, дисперсия, ковариация. Ковариационная матрица. Коэффициент корреляции. Линейные преобразования случайных величин и соответствующие преобразования моментов.
  9. Функции распределения для величин, являющихся функциями случайных величин. Связь моментов этих функций с моментами случайных аргументов.
    Лекция 7, Лекция 8
  10. Распределение для квадрата нормально распределенной случайной величины. Гамма-распределение (стандартное и общего вида). Производящая функция моментов для Гамма-распределения.
    Лекция 12, Гамма-функция
  11. Распределение Хи-квадрат: его вывод, производящая функция моментов.
    Лекция 13
  12. Понятие выборки. Гистограмма. Понятие оценок статистических характеристик случайной величины. Несмещенные и состоятельные оценки. Функции от выборки – случайные величины. Выборочное среднее. Его статистические характеристики. 
  13. Выборочные дисперсия, асимметрия, коэффициент эксцесса, коэффициент корреляции. Их статистические характеристики.
    Лекция 9
  14. Понятие регрессии. Принцип максимального правдоподобия. Критерий минимума остаточной суммы квадратов.
    Лекция 10
  15. Линейная и нелинейная регрессия. Обобщенная линейная регрессия для произвольного набора базисных функций. Линеаризация регрессионной функции.
    Лекция 11
  16. Проверка статистических гипотез. Гипотезы о равенстве математических ожиданий и дисперсий двух случайных величин. Критерий Стьюдента. Распределение Стьюдента. Доверительный интервал.
    Лекция 14
  17. Критерий Фишера. Распределение Фишера.
    Лекция 15
  18. Проверка гипотезы о виде функции распределения.
    Лекция 16

Литература

  1. З. Брандт. Анализ данных. М.: Мир, АСТ, 2003.
  2. В. Феллер. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М.: Мир, 1984.
  3. Д. Худсон. Статистика для физиков. М., Мир, 1970.
  4. Б.В. Гнеденко. Курс теории вероятностей, М:. Наука, 1988.
  5. В.Д. Мятлев, Л.А. Панченко, Г.Ю. Ризниченко, А.Т. Терёхин. Теория вероятностей и математическая статистика. Математические модели М.: Академия, 2009
  6. В.Е. Гмурман. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 1998.